矩阵证明题设A为n阶对称矩阵,证明对任意的n×1阶矩阵X有XTAX=0,则必有A=0

Question

矩阵证明题
设A为n阶对称矩阵,证明对任意的n×1阶矩阵X有XTAX=0,则必有A=0

Answer 1

证明: 取X=εi=(0,...,1,...,0)^T, 第i个分量为1, 其余分量为0
由已知 X^TAX = aii = 0, i=1,2,...,n.
取 X=εij=(0,...,1,...,1,...,0)^T, 第i,j个分量为1, 其余分量为0
由已知 X^TAX = 2aij = 0, i,j=1,2,...,n, i≠j.
综上有 aij = 0, i,j=1,2,...,n
即有 A = 0.