已知函数f（x）=mx2+（1-3m）x-4，m∈R．（Ⅰ）当m=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）>-1；（Ⅲ）当m<0时，若存在x0∈（1，+∞），使得f（x0）>

Question

已知函数f（x）=mx²+（1-3m）x-4，m∈R．
（Ⅰ）当m=1时，求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）>-1；
（Ⅲ）当m<0时，若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）>0，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当m=1时，
函数f（x）=x²-2x-4在（-2，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数．  （2分）
又f（-2）=4，f（1）=-5，f（2）=-4，
所以，f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值分别为4和-5．     （4分）
（Ⅱ）不等式f（x）>-1，即mx²+（1-3m）x-3>0，
当m=0时，解得x>3．           （5分）
当m≠0时，（x-3）（mx+1）=0的两根为3和-(1)/(m)，（6分）
当m>0时，-(1)/(m)<3，不等式的解集为{x|x<-(1)/(m)或x>3}．   （7分）
当m<0时，3-(-(1)/(m))=(3m+1)/(m)，
所以，当m<-(1)/(3)时，-(1)/(m)<3，不等式的解集为{x|-(1)/(m)<x<3}．   （8分）
当m=-(1)/(3)时，不等式的解集为∅．    （9分）
当-(1)/(3)<m<0时，3<-(1)/(m)，不等式的解集为{x|3<x<-(1)/(m)}．    （10分）
综上，当m>0时，解集为{x|x<-(1)/(m)或x>3}；当m=0时，解集为{x|x>3}；当-(1)/(3)<m<0时，解集为{x|3<x<-(1)/(m)}；当m=-(1)/(3)时，解集为∅；当m<-(1)/(3)时，解集为{x|-(1)/(m)<x<3}．
（Ⅲ）因为m<0，所以f（x）=mx²+（1-3m）x-4是开口向下的抛物线，
抛物线的对称轴为x=-(1-3m)/(2m)=(3)/(2)-(1)/(2m)>1，（11分）
若存在x₀∈（1，+∞），使得f（x₀）>0，则（1-3m）²+16m>0，（12分）
即9m²+10m+1>0，解得m<-1或-(1)/(9)<m<0，
综上，m的取值范围是(-∞，-1)∪(-(1)/(9)，0)．     （13分）