设f（x）=mx2+（m+4）x+3．（1）试确定m的值，使得f（x）有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；（2）若m=-1时，在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）-a>0

Question

设f（x）=mx²+（m+4）x+3．
（1）试确定m的值，使得f（x）有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；
（2）若m=-1时，在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）-a>0成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）有两个零点，∴

m≠0

(m+4)2-12m>0

，解得m≠0．
设f（x）的两个零点为x₁，x₂，则x₁+x₂=-(m+4)/(m)，x₁x₂=(3)/(m)．
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（(m+4)/(m)）²-(12)/(m)=(16)/(m2)-(4)/(m)+1=16（(1)/(m)-(1)/(8)）²+(3)/(4)．
∴当m=8时，∴|x₁-x₂|²取得最小值(3)/(4)．∴|x₁-x₂|的最小值为(√(3))/(2)．
（2）当m=-1时，f（x）=-x²+3x+3，f（x）的对称轴为x=(3)/(2)．
①若0<λ<(3)/(2)，则f_max（x）=f（λ）=-λ²+3λ+3，
②若λ≥(3)/(2)，则f_max（x）=f（(3)/(2)）=(21)/(4)．
∵在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）-a>0成立，∴a<f_max（x）．
综上，当0<λ<(3)/(2)时，a的取值范围是（-∞，-λ²+3λ+3）；
当λ≥(3)/(2)时，a的取值范围是（-∞，(21)/(4)）．