已知函数f（x）=lnx+mx2（m∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=lnx+mx²（m∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若A，B是函数f（x）图象上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=(1)/(x)+2mx，
当m≥0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）递增，
当m＜0时，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜√(−(1)/(2m))，
令f（x）＜0，解得：x＞√(−(1)/(2m))，
∴f（x）在（0，√(−(1)/(2m))）递增，在（√(−(1)/(2m))，+∞）递减，
综上，m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，
当m＜0时，f（x）在（0，√(−(1)/(2m))）递增，在（√(−(1)/(2m))，+∞）递减．
（2）由题意得只需(1)/(x)+2mx＞1即可，
整理得；2mx²-x+1＞0，
∴△=1-8m＜0，
∴m＞(1)/(8)．