如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+（m+1）x+3m与直线y=-x+3交于A、C两点；点P从原点O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于D，交AC于E，设点P运

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+（m+1）x+3m与直线y=-x+3交于A、C两点；点P从原点O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于D，交AC于E，设点P运动的时间为x（秒），四边形AOCD的面积为S．
（1）求点A、C的坐标，并求此抛物线的解析式；
（2）求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）探究：是否存在点P，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据一次函数的解析式y=-x+3分别令x=0，则y=3；
令y=0则x=3，
故A（0，3），C（3，0），
把A（0，3）代入抛物线的解析式
得3m=3，m=1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵m=1
∴y=-x²+2x+3，
∴AO=3，
点D（x，-x²+2x+3），连接OD，
∵OC=3，
∴S=S_△AOD+S_△DOC=(1)/(2)×3x+(1)/(2)×（-x²+2x+3）=-(3)/(2)x²+(9)/(2)x+(9)/(2)，
∴S与x的函数关系式S=-(3)/(2)x²+(9)/(2)x+(9)/(2)（0＜x＜3），
当x=-(b)/(2a)=(3)/(2)符合（0＜x＜3），
S_最大值=(4ac−b2)/(4a)=(4×(−(3)/(2)×(9)/(2)−((9)/(2))2))/(4×(−(3)/(2)))=(63)/(8)，

（3）∵OA=OC=3，
∴△AOC为等腰Rt△，
∴∠ECP=45°，
∴EP=PC=3-x，
假设存在点P，使AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分，分两种情况讨论：
（ⅰ）当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，DE=2EP，
∴DP=3EP，
即-x²+2x+3=3（-x+3）
整理得：x²-5x+6=0，
解得；x₁=2x₂=3（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（2，0）；
（ⅱ）当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时，DE=(1)/(2)EP，
∴DP=(3)/(2)EP，
即-x²+2x+3=(3)/(2)（-x+3），
整理得：2x²-7x+3=0，
解得：x₃=(1)/(2)，x₄=3（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（(1)/(2)，0），
综上所述，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1两部分的点P存在，点P的坐标是（2，0）或（(1)/(2)，0）．