如图，四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD=AB=2，BD=23，AC与BD交于O点．将△ABC沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ABC内．（Ⅰ）求证：AC⊥平

Question

如图，四边形ABCD中，△ABC为正三角形，AD=AB=2，BD=2√(3)，AC与BD交于O点．将△ABC沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ABC内．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若θ＝(π)/(3)时，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

（1）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，
所以AC⊥平面PBD；
（2）因为AC⊥面PBD，而AC⊆面ABCD，所以面ABCD⊥面PBD，
则P点在面ABCD上的射影点在交线BD上（即在射线OD上），
所以PO与平面ABCD所成的角θ＝∠POD＝(π)/(3)．
以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，B(0，√(3)，0)，P(0，−(√(3))/(2)，(3)/(2))，
因为AC⊥面PBD，所以面PBD的法向量

n1

＝

OA

＝(1，0，0)，
设面PAB的法向量

n2

＝(x，y，z)，又

AB

＝(−1，√(3)，0)，
由

作业帮用户 2017-10-09 举报

问题解析

（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，可证AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用θ＝(π)/(3)，可得二面角A-PB-D的余弦值．

名师点评

本题考点：

直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．

考点点评：

本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

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