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如图,AB为O的直径,点C为AB延长线上一点,动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动,同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动,当两点相遇时停止运动,过点P作AB的垂线,分别交O于
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如图,AB为 O的直径,点C为AB延长线上一点,动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动,同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动,当两点相遇时停止运动,过点P作AB的垂线,分别交 O于点M和点N,已知 O的半径为l,设运动时间为t秒.

(1)若AC=5,则当t=___时,四边形AMQN为菱形;当t=___时,NQ与 O相切;
(2)当AC的长为多少时,存在t的值,使四边形AMQN为正方形?请说明理由,并求出此时t的值.

(1)若AC=5,则当t=___时,四边形AMQN为菱形;当t=___时,NQ与 O相切;
(2)当AC的长为多少时,存在t的值,使四边形AMQN为正方形?请说明理由,并求出此时t的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)AP=t,CQ=t,则PQ=5-2t,
∵NM⊥AB,
∴PM=PN,
∴当PA=PQ时,四边形AMQN为菱形,即t=5-2t,解得t=
;
当∠ONQ=90°时,NQ与 O相切,如图,

OP=t-1,OQ=AC-OA-QC=5-1-t=4-t,
∵∠NOP=∠QON,
∴Rt△ONP∽Rt△OQN,
∴
=
,即
=
,
整理得t2-5t+5=0,解得t1=
,t2=
(1≤t≤2.5,故舍去),
即当t=
时,NQ与 O相切;
故答案为
,
;
(2)当AC的长为3时,存在t=1,使四边形AMQN为正方形.理由如下:
∵四边形AMQN为正方形.
∴∠MAN=90°,
∴MN为 O的直径,
而∠MQN=90°,
∴点Q在 O上,
∴AQ为直径,
∴点P在圆心,
∴MN=AQ=2,AP=1,
∴t=AP=1,CQ=t=1,
∴AC=AQ+CQ=2+1=3.
∵NM⊥AB,
∴PM=PN,
∴当PA=PQ时,四边形AMQN为菱形,即t=5-2t,解得t=
5 |
3 |
当∠ONQ=90°时,NQ与 O相切,如图,

OP=t-1,OQ=AC-OA-QC=5-1-t=4-t,
∵∠NOP=∠QON,
∴Rt△ONP∽Rt△OQN,
∴
ON |
OQ |
OP |
ON |
1 |
4-t |
1-t |
1 |
整理得t2-5t+5=0,解得t1=
5-
| ||
2 |
5+
| ||
2 |
即当t=
5-
| ||
2 |
故答案为
5 |
3 |
5-
| ||
2 |
(2)当AC的长为3时,存在t=1,使四边形AMQN为正方形.理由如下:
∵四边形AMQN为正方形.
∴∠MAN=90°,
∴MN为 O的直径,
而∠MQN=90°,
∴点Q在 O上,
∴AQ为直径,
∴点P在圆心,
∴MN=AQ=2,AP=1,
∴t=AP=1,CQ=t=1,
∴AC=AQ+CQ=2+1=3.
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