如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=12x（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的

Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=(12)/(x)（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．

（1）求证：线段AB为⊙P的直径；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，Q是反比例函数y=(12)/(x)（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．

Answer 1

（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，
∴AB是⊙P的直径．
（2）设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），
∵点P是反比例函数y=(12)/(x)（x＞0）图象上一点，∴mn=12．
如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．
由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=(1)/(2)BO•OA=(1)/(2)×2n×2m=2mn=2×12=24．
（3）证明：∵以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，∠COD=90°，
∴DC是⊙Q的直径．
若点Q为反比例函数y=(12)/(x)（x＞0）图象上异于点P的另一点，
参照（2），同理可得：S_△COD=(1)/(2)DO•CO=24，
则有：S_△COD=S_△AOB=24，即(1)/(2)BO•OA=(1)/(2)DO•CO，
∴DO•OC=BO•OA．