已知数集A={a1，a2，…，an}，其中0≤a1＜a2＜…＜an，且n≥3，若对?i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．（Ⅰ）分别判断数集{0，1

Question

已知数集A={a ₁ ，a ₂ ，…，a _n }，其中0≤a ₁ ＜a ₂ ＜…＜a _n ，且n≥3，若对?i，j（1≤i≤j≤n），a _j +a _i 与a _j -a _i 两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；
（Ⅱ）已知数集A={a ₁ ，a ₂ …a ₈ }具有性质P，判断数列a ₁ ，a ₂ …a ₈ 是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：
（Ⅰ）根据数集A具有性质P的定义，判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P．
（Ⅱ）根据数集A={a ₁ ，a ₂ …a ₈ }具有性质P，可得a _i +a _9-i =a ₈ …①，a _i +a _8-i =a ₇ …②，由①②可知a _i =a ₈ -a _9-i =a ₈ -（a ₇ -a _i-1 ），即a _i -a _i-1 =a ₈ -a ₇ ，从而得到a ₁ ，a ₂ ，…a ₈ 构成等查数列．

（Ⅰ）由于3-1和3+1都不属于集合{0，1，3}，所以该集合不具有性质P；
由于2+0、4+0、6+0、4+2、6-2、6-4、0-0、2-2、4-4、6-6都属于集合{0，2，4，6}，
所以该数集具有性质P． …（4分）
（Ⅱ）∵A={a ₁ ，a ₂ ，…，a ₈ }具有性质P，所以a ₈ +a ₈ 与a ₈ -a ₈ 中至少有一个属于A，
由0≤a ₁ ＜a ₂ ＜…＜a ₈ ，有a ₈ +a ₈ ＞a ₈ ，故a ₈ +a ₈ ∉A，∴0=a ₈ -a ₈ ∈A，故a ₁ =0．
∵0=a ₁ ＜a ₂ ＜…＜a ₈ ，∴a ₈ +a _k ＞a ₈ ，故a ₈ +a _k ∉A（k=2，3，…，8）．
由A具有性质P知，a ₈ -a _k ∈A（k=2，3，…，8）．
又∵a ₈ -a ₈ ＜a ₈ -a ₇ ＜…＜a ₈ -a ₂ ＜a ₈ -a ₁ ，
∴a ₈ -a ₈ =a ₁ ，a ₈ -a ₇ =a ₂ ，…，a ₈ -a ₂ =a ₇ ，a ₈ -a ₁ =a ₈ ，即a _i +a _9-i =a ₈ （i=1，2，…，8）．…①
由a ₂ +a ₇ =a ₈ 知，a ₃ +a ₇ ，a ₄ +a ₇ ，…，a ₇ +a ₇ 均不属于A，
由A具有性质P，a ₇ -a ₃ ，a ₇ -a ₄ ，…，a ₇ -a ₇ 均属于A，
∴a ₇ -a ₇ ＜a ₇ -a ₆ ＜…＜a ₇ -a ₄ ＜a ₇ -a ₃ ＜a ₈ -a ₃ ，
∴a ₇ -a ₇ =0，a ₇ -a ₆ =a ₂ ，a ₇ -a ₅ =a ₃ ，…，a ₇ -a ₃ =a ₅ ，即 a _i +a _8-i =a ₇ （i=1，2…7）．…②
由①②可知a _i =a ₈ -a _9-i =a ₈ -（a ₇ -a _i-1 ）  （i=1，2…7，8），
即a _i -a _i-1 =a ₈ -a ₇ （i=2，3，…，8）．
故a ₁ ，a ₂ ，…a ₈ 构成等查数列． …（10分）

点评：
本题主要考查等差关系的确定，等差数列的定义，新定义，属于中档题．