（2014•湖北）已知公差不为0的等差数列{an}的前3项和S3=9，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式和前n项和Sn（2）设Tn为数列{1anan+1}的前n项和，若Tn≤λan+1对一切n∈N*恒成立，求

Question

（2014•湖北）已知公差不为0的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n
（2）设T_n为数列{(1)/(anan+1)}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

（1）由S₃=9，可得3a₁+3d=9即a₁+d=3①（2分）
∵a₁，a₂，a₅成等比数列．
∴a1(a1+4d)=(a1+d)2②；
联立①②得a₁=1，d=2；…（4分）
故a_n=2n-1，Sn=n2…（6分）
（2）∵(1)/(anan+1)=(1)/((2n-1)(2n+1))=(1)/(2)((1)/(2n-1)-(1)/(2n+1))…（8分）
∴Tn=(1)/(2)(1-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1))=(n)/(2n+1)…（10分）
由T_n≤λa_n+1得：(n)/(2n+1)≤λ(2n+1)
∴λ≥(n)/((2n+1)2)=(1)/(4n+(1)/(n)+4)
令f（n）=(1)/(4n+(1)/(n)+4)，
∵f（n）单调递减，
∴f（n）≤(1)/(9)
即λ≥(1)/(9)…（12分）