设为数列的前n项和，对任意的，都有(m为常数，且m>0)．(1)求证：数列是等比数列．(2)设数列的公比q=f(m)，数列满足，(n≥2，)，求数列的通项公式．(3)在满足(2)的条件下，求数列的前n项和

Question

设为数列的前n项和，对任意的，都有(m为常数，且m>0)．
(1)求证：数列是等比数列．
(2)设数列的公比q=f(m)，数列满足，(n≥2，)，求数列的通项公式．
(3)在满足(2)的条件下，求数列的前n项和____

Answer 1

【分析】(1)当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1，进而得出a_n和a_n-1的关系整理得，因m为常数，进而可证明当n≥2时数列{a_n}是等比数列．，当n=1时等式也成立，原式得证．
(2)根据(1)可得f(m)的解析式．再根据b_n=f(b_n-1)整理可得进而推知数列{b_n}为等差数列，首项为2a₁，公差为1，再根据等差数列的通项公式可得答案．
(3)把(2)中的b_n代入，再通过错位相减法求得T_n

(1)证明：当n=1时，a₁=S₁=(m+1)-ma₁，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n．
即(1+m)a_n=ma_n-1．
∵m为常数，且m>0，
∴(n≥2)．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列．
(2)由(1)得，q=f(m)=，b₁=2a₁=2．
∵，
∴，即(n≥2)．
∴是首项为，公差为1的等差数列．
∴，即(n∈N^*)．
(3)由(2)知，则．
所以，
即T_n=2¹×1+2²×3+2³×5++2^n-1×(2n-3)+2ⁿ×(2n-1)，①
则2T_n=2²×1+2³×3+2⁴×5++2ⁿ×(2n-3)+2ⁿ⁺¹×(2n-1)，②
②-①得T_n=2ⁿ⁺¹×(2n-1)-2-2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹，
故．

【点评】本题主要考查等比数列的性质．当出现等比数列和等差数列相乘的形式时，求和可用错位相减法．