已知a和b是任意非零实数．（1）求|2a+b|+|2a−b||a|的最小值．（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围．

Question

已知a和b是任意非零实数．
（1）求(|2a+b|+|2a−b|)/(|a|)的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）∵(|2a+b|+|2a−b|)/(|a|)=|(2a+b)/(a)|+|(2a−b)/(a)|=|2+(b)/(a)|+|2-(b)/(a)|≥|（2+(b)/(a)）+（2-(b)/(a)）|=4，
所以 (|2a+b|+|2a−b|)/(|a|)的最小值为4．
（2）∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，
∴4|a||≥|a|（|2+x|+|2-x|），即|2+x|+|2-x|≤4．
而|2+x|+|2-x|表示数轴上的x对应点到-2、2对应点的距离之和，它的最小值为4，
故|2+x|+|2-x|=4，∴-2≤x≤2，
即实数x的取值范围为：[-2，2]．