已知函数f(x)=alnx+1/x(a>0)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)0时,若对任意的x>0,均有ax(2-lnx)

Question

已知函数f(x)=alnx+1/x(a>0)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)<=1恒成立
已知函数f(x)=alnx+1/x
(2)a>0时,若对任意的x>0,均有ax(2-lnx)<=1 ,求实数a 的取值范围
（3）是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?存在求出a值,不存在说明理由

Answer 1

答：
1）a>0时：
ax(2-lnx)<=1
g(x)=2ax-axlnx-1<=0恒成立
g'(x)=2a-alnx-a=a-alnx=a(1-lnx)
00,g(x)是增函数
x>e时,g'(x)<0,g(x)是减函数
所以：x=e时g(x)取得最大值g(e)=2ae-ae-1<=0
所以：ae<=1
所以：02）
f(x)=alnx+1/x,x>0
f'(x)=a/x-1/x^2=(ax-1)/x^2
解f'(x)=0得：x=1/a
0x>1/a时f'(x)>0,f(x)是增函数
所以：x=1/a时f(x)取得最小值f(1/a)=aln(1/a)+a=-alna+a
2.1）当x=1/a<=1时,f(x)在[1,e]上是增函数
f(x)>=f(1)=1,不符合
2.2）当1<=x=1/a<=e即1/e<=a<=1：
f(1/a)=-alna+a=0
解得a=e,不符合
2.3）当x=1/a>e即0f(x)在[1,e]上是减函数：
f(x)>=f(e)=a+1/e=0
解得：a=-1/e<0,不符合
综上所述,不存在所述a值