（2013•本溪）如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2

Question

（2013•本溪）如图，点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OB₁A₁的两条中线的交点，再以OB₂为一边，构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是

(1)/(310)

(1)/(310)

．

Answer 1

∵点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，
∴点B₁是△OBA的重心，也是内心，
∴∠BOB₁=30°，
∵△OB₁A₁是等边三角形，
∴∠A₁OB=60°+30°=90°，
∵每构造一次三角形，OB_i 边与OB边的夹角增加30°，
∴还需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次构造后等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合，
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB₁₀A₁₀．
如图，过点B₁作B₁M⊥OB于点M，
∵cos∠B₁OM=cos30°=(OM)/(OB1)=(√(3))/(2)，
∴(OB)/(OB1)=(2OM)/(OB1)=(2√(3))/(2)=√(3)，即(OB1)/(OB)=(1)/(√(3))，
∴(S△OB1A1)/(S△OBA)=（(OB1)/(OB)）²=(1)/(3)，即S_△OB1A1=

作业帮用户 2017-10-19 举报

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