土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别位rA=8.0×104km和rB=1.2×105km．忽略所有岩石颗粒间的相互作用．（结果可

Question

土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别位r_A=8.0×10⁴km和r _B=1.2×10⁵km．忽略所有岩石颗粒间的相互作用．（结果可用根式表示）
（1）求岩石颗粒A和B的周期之比．
（2）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心3.2×10⁵km处受到土星的引力为0.38N．已知地球半径为6.4×10³km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

Answer 1

（1）由万有引力提供向心力的周期表达式：
G(Mm)/(r2)＝mr(4π2)/(T2)
解得：
T＝√((4π2r3)/(GM))
带入数据解得：
(TA)/(TB)＝2√(6)：9
（2）设地球质量为M，地球半径为r₀，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m₀，在地球表面重力为G₀，
距土星中心r₀′=3.2×10⁵km处的引力为G₀′
根据万有引力定律：
G0＝(GMm0)/(r02)     
G0′＝(GMm0)/(r0′2)
由上述两式得：
(M0)/(M)＝95
答：
（1）求岩石颗粒A和B的周期之比(TA)/(TB)＝2√(6)：9
（2）估算土星质量是地球质量的95倍