如果x属于R并且x>-1,然后所有的n属于No,证明（1+x）的n次方大于1+nx

Question

如果x属于R并且x>-1,然后所有的n属于No,证明（1+x）的n次方大于1+nx

Answer 1

这叫伯努里（Bernoulli）不等式,在极限问题里挺有用的,因为它把作为指数的n变成了一个因子.注意一下,原式中应该是“>=”而不是“>”,因为若x=0或n=1,左右两边是相等的.如果x>=0,那由二项式定理展开立即可得.如果x>-1,那用数学归纳法比较方便.证明：当n=1时,原式左右两端相等,命题成立.假设已经证明了(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x,对任意的x>-1成立.则(1+x)^n=[(1+x)^(n-1)]*(1+x)>=[1+(n-1)x]*(1+x)=1+(n-1)x+x+(n-1)x^>=1+nx,对任意的x>1均成立.于是原命题对一切自然数均成立.从证明的过程可以看到“x>-1”这条件保证了“[(1+x)^(n-1)]*(1+x)>=[1+(n-1)x]*(1+x)”成立.