己知定义在R上的函数厂f（x）对任意的X、y€R,都有f（xy）=f（x）+f（y）,当x>1时,f（x）>0,求证：对任意的X都有f（1/x）=-f（x）、并判断f（x）在负无穷大到零上的单调性?

Question

己知定义在R上的函数厂f（x）对任意的X、y€R,都有f（xy）=f（x）+f（y）,当x>1时,f（x）>0,求证：对任意的X都有f（1/x）=-f（x）、并判断f（x）在负无穷大到零上的单调性?

Answer 1

解1由f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1
则f（1）=f（1）+f（1）
即f（1）=0
用1/x代替y代入f（xy）=f（x）+f（y）
得f（x×1/x）=f（x）+f（1/x）
即f（x）+f（1/x）=f（x×1/x）=f（1）=0
即f（1/x）=-f（x）
2判定为减函数
设x1,x2属于（负无穷大,0）且x1＜x2
则f（x1）-f（x2） （由1中f（1/x）=-f（x））
=f（x1）+f（1/x2）
=f（x1/x2）
由x1＜x2＜0
即x1/x2＞1
又由当x>1时,f（x）>0
即f（x1/x2）>0
故f（x1）-f（x2）＞0
故（x）在（负无穷大,零）上的单调递减.