若F（X）在定义域R上处处可导,且有F’（O）=1,对任意的X,Y有F（X+Y）=F（X）+F（Y）+2XY,则F’（X）=?

Question

若F（X）在定义域R上处处可导,且有F’（O）=1,对任意的X,Y有F（X+Y）=F（X）+F（Y）+2XY,则F’（X）=?

Answer 1

对于F(X+Y)=F(X)+F(Y)+2XY
把Y当做常数,X当做未知数,两边对X求导,有：
F'(X+Y)*(X+Y)'=F'(X)+0+2X
推出：F'(X+Y)=F'(X)+2Y
对任意的X值都满足上述表达式,则可以令X=0
推出：F'(Y)=F'(0)+2Y=1+2Y
最后把上式的Y换成X：F'(X)=2X+1,得到最后的答案.