如图，将抛物线y=x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．（1）求a的值；（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接

Question

如图，将抛物线y=x²向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．

（1）求a的值；
（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S_△ABC；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）平移后的抛物线的解析式为y=（x-a）²=x²-2ax+a²，
令y=x²-2ax+a²中x=0，则y=a²，
∴B（0，a²）．
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴a=a²，解得：a=1或a=0（舍去）．
故a的值为1．
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，如图所示．
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°．
∵AD为抛物线的对称轴，
∴AB=AC，∠CAD=∠BAD=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∵点B（0，1），抛物线对称轴为x=1，
∴点C的坐标为（2，1）．
S_△ABC=(1)/(2)AB•AC=(1)/(2)×√(2)×√(2)=1．
故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为（2，1）且S_△ABC=1．