△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,M是AB的中点,将△ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为2根号2,此时三棱锥ABCM的体积等于____?

Question

△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,M是AB的中点,将△ACM沿CM折起,使A,B两点间的距离为2根号2,
此时三棱锥ABCM的体积等于____?

Answer 1

过M点作MN⊥AB,交AB于N,再过N点作NF‖AC,连接FM
因为△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,M是AB的中点,所以可知,AM＝BM＝CM＝AC＝2,BC＝2√3
因为AB＝2√2,AC＝2,BC＝2√3,所以△ABC为直角三角形,所以△ABC的面积＝1/2×2×2√2＝2√2
因为AB＝2√2,AM＝BM＝2,所以△ABM为等腰直角三角形,即N为AB中点,MN＝√2,因为△ABC为直角三角形,进一步得出,F也为BC中点,所以FN＝1/2AC＝1
因为F为BC中点,M为AC中点,所以当直角△ABC平展开时,FM⊥BC,FM＝1/2AC＝1
（回到立体中）因为FM＝FN＝1,MN＝√2,所以△FMN为等腰直角三角形,所以FM⊥FN,又因为FM⊥BC,所以FM⊥面ABC,所以FM为以面ABC为底,三棱锥ABCM的高
所以,体积＝1/3×△ABC面积×FM＝2√2/3