（2013•盐城模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为（3，1）．（1）OA的长为，OB的长为；（2）点C

Question

（2013•盐城模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P₁是△OAB的内切圆，且P₁的坐标为（3，1）．
（1）OA的长为______，OB的长为______；
（2）点C在OA的延长线上，CD∥AB交x轴于点D．将⊙P₁沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P₂，将⊙P₂沿水平方向向右平移2个单位得到⊙P₃，按照同样的方法继续操作，依次得到⊙P₄，…⊙P_n．若⊙P₁，⊙P₂，…⊙P_n均在△OCD的内部，且⊙P_n恰好与CD相切，则此时OD的长为______．（用含n的式子表示）

Answer 1

（1）作P₁H₁⊥OB于H₁，P₁Q⊥AO于Q，P₁E₁⊥AB于E₁，如图，
∵⊙P₁是△OAB的内切圆，且P₁的坐标为（3，1）．
∴P₁H₁=P₁Q=P₁E=1，OQ=OH₁=3，BH₁=BE，
∵∠OAB=90°，
∴四边形AQP₁E为正方形，
∴AQ=AW=P₁Q=1，
∴AO=OQ+AQ=3+1=4，
在Rt△ABO中，OB²=OA²+AB²，
∴（3+BH₁）²=4²+（1+BH₁）²，解得BH₁=2，
∴OB=OH₁+BH₁=3+2=5；
（2）作P_nH_n⊥OB于H_n，P_nE_n⊥CD于E_n，如图，
∵P₁P_n=2（n-1），
∴H₁H_n=2（n-1），
∵AB∥CD，
∴∠OBA=∠ODC，
∵⊙P₁是△OAB的内切圆，⊙P_n与CD相切，
∴∠H₁BP₁=(1)/(2)∠OBA，∠H_nDP_n=(1)/(2)∠ODC，
在△H₁BP₁和△H_nDP_n中

∠P1H1B＝∠PnHnD

∠P1BH1＝∠PnDHn

P1H1＝PnHn

，
∴△H₁BP₁≌△H_nDP_n（AAS），
∴BH₁=DH_n=2，
∴OD=OH₁+H₁H_n+DH_n=3+2（n-1）+2=2n+3．
故答案为4，5；2n+3．