（2013•房山区一模）设集合M是R的子集，如果点x0∈R满足：∀a＞0，∃x∈M，0＜|x-x0|＜a，称x0为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有（）①{nn+1|n∈N}；②{2n|n∈N*}；③Z；④

Question

（2013•房山区一模）设集合M是R的子集，如果点x₀∈R满足：∀a＞0，∃x∈M，0＜|x-x₀|＜a，称x₀为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有（　　）
①{(n)/(n+1)|n∈N}；    
②{(2)/(n)|n∈N*}；    
③Z；    
④{y|y=2^x}．

A．①④
B．②③
C．①②
D．①②④

Answer 1

①{(n)/(n+1)|n∈N}中的元素构成以1为极限的数列，故对∀a＞0，∃x∈{ (n)/(n+1)|n∈N}，
使0＜|x-1|＜a成立，故此集合以1为聚点．
②集合{ (2)/(n)|n∈N*}，其中的元素构成以0为极限的数列，故对∀a=0.01，不存在x∈{ (2)/(n)|n∈N*}，
使0＜|x-1|＜0.01成立，故1不是此集合的聚点．
③集合{Z}中的元素是整数，故对∀a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x-1|＜a成立，∴1不是集合Z的聚点．
④集合{y|y=2^x}=（0，+∞），∀a＞0，一定∃x∈M，使0＜|x-1|＜a 成立，故此集合以1为聚点．
故选A．