设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex（ax+1），其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调增函数，且g（x）在（-∞，1）上有最大值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（1，2）上不是单调函数

Question

设函数f（x）=lnx-(a)/(x)，g（x）=e^x（ax+1），其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调增函数，且g（x）在（-∞，1）上有最大值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（1，2）上不是单调函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数，
∴f'（x）=(1)/(x)+(a)/(x2)在（1，+∞）上恒成立，∴a≥-x，
∵-x＜-1，∴a≥-1，
∵g（x）=e^x（ax+1），∴g′（x）=e^x（ax+a+1），
①-1≤a＜0时，在（-∞，-1-(1)/(a)）上，g′（x）＞0，在（-1-(1)/(a)，+∞）上f′（x）＜0，
∴f（x）_max=f（-1-(1)/(a)），而-1-(1)/(a)在（-∞，1）上，符合题意，
②a=0时，g′（x）＞0，没有最大值，
③a＞0时，在（-∞，-1-(1)/(a)）上，g′x）＜0，在（-1-(1)/(a)，+∞）上，g′（x）＞0，
∴f（x）有最小值，不合题意，
综上，-1≤a＜0；
（Ⅱ）∵g（x）在区间（1，2）上不是单调函数时，
∴g'（x）=e^x（ax+a+1）=0在（1，2）上有解，
∴a≠0且1＜-(a+1)/(a)＜2，
∴-(1)/(2)＜a＜-(1)/(3)，
由f（x）=lnx-(a)/(x)=0得a=xlnx，
令h（x）=xlnx，则h'（x）=1+lnx，
由h'（x）=0，得x=(1)/(e)，
在（0，(1)/(e)）上，h'（x）＜0，此时h（x）是减函数，
在（(1)/(e)，+∞）上，h'（x）＞0，此时h（x）是增函数，
∴当x=(1)/(e)时，h（x）取得极小值，也是最小值为h（(1)/(e)）=-(1)/(e)，
又0＜x＜1时，h（x）＜0，
x≥1时，h（x）≥0，
∴当-(1)/(2)＜a＜-(1)/(e)时，f（x）的零点个数为0，
当a=-(1)/(e)时，f（x）的零点个数为1，
当-(1)/(e)＜a＜-(1)/(3)时，f（x）的零点个数为2．