已知函数F(X)=aX-1/aX+1(a大于0.且a≠1)讨论(1)F(X)的单调性(2)F(X)的奇偶性注：ax是a的x方

Question

已知函数F(X)=aX-1/aX+1(a大于0.且a≠1) 讨论(1)F(X)的单调性(2)F(X)的奇偶性 注：ax是a 的x方

Answer 1

这题要先算奇偶性
f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)+1]
=[1-a^x]/[1+a^x]
=-(a^x-1)/(a^x+1)
=-f(x)
故f(x)为奇函数
f(x)为奇函数,所以只讨论在x＞0时的情况
①当a＞1时,a^x为增函数
令：0＜x1＜x2
则,f(x1)-f(x2)=[(a^x1-1)/(a^x1+1)]-[(a^x2-1)/(a^x2+1)]
=[(a^x1-1)*(a^x2+1)-(a^x2-1)*(a^x1+1)]/[(a^x1+1)*(a^x2+1)]
上述分式的分母一定＞0
分子=[a^(x1+x2)-a^x2+a^x1-1]-[a^(x1+x2)-a^x1+a^x2-1]
=2(a^x1-a^x2)
因为a^x为增函数,且x1＜x2
所以,a^x1＜a^x2
所以,f(x1)-f(x2)＜0
即,f(x1)＜f(x2)
所以,f(x)为增函数
而f(x)为R上的奇函数
所以,在R上,f(x)为增函数
②当0＜a＜1时,同理可得f(x)在R上为减函数