设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a+x是无理数；（2）当a≠0时，ax是无理数．

Question

设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a+x是无理数；（2）当a≠0时，ax是无理数．

Answer 1

证明：（1）任何有理数都可以表示成(q)/(p)的形式（p，q都是整数），反过来也一样，任何形如(q)/(p)（p，q都是整数）的数都是有理数，
∵a为有理数，
∴a=(q)/(p)．
如果a+x是有理数，那么a+x=(q′)/(p′)，x=(q′)/(p′)-a=(q′)/(p′)-(q)/(p)=(pq′-qp′)/(pp′)，
那么x是有理数，这与x为无理数矛盾，
所以a+x为无理数；

（2）如果ax是有理数，那么ax=(q′)/(p′)，x=(pq′)/(qp′)
所以x是有理数，这与x为无理数矛盾，
所以当a≠0时，ax为无理数．