设函数f(x)=(1/2)x^2+4lnx+c(1)当c=1时,求函数f（x）在[1,2e]上的最大值和最小值设函数f(x)=(1/2)x^2+4lnx+c(1)当c=1时,求函数f（x）在[1,2e]上的最大值和最小值（2）若在区间（1,+∞）上,函数f（x）的图像

Question

设函数f(x)=(1/2)x^2+4lnx+c (1)当c=1时,求函数f（x）在[1,2e]上的最大值和最小值
设函数f(x)=(1/2)x^2+4lnx+c
(1)当c=1时,求函数f（x）在[1,2e]上的最大值和最小值
（2）若在区间（1,+∞）上,函数f（x）的图像在函数g（x）=（5/3）x^3的下方,求c的范围

Answer 1

解析：
⑴f(x)＝1/2*x²＋4lnx＋1
∴f'(x)＝x＋4/x
∵函数f(x)的定义域为(0,＋∞),
∴导函数f'(x)＝x＋4/x＞0恒成立!
因此,f(x)在(0,＋∞)上单调递增!
∴在区间[1,2e]上,
f(x)max＝f(2e)＝2e²＋4ln2＋5.
f(x)min＝f（1）＝3/2.
⑵依题意,即g（x）大于f（x）恒成立!
∴g(x)－f(x)＝(5/3)x³－(1/2)x²－4lnx－c＞0对任意的x∈(1,＋∞)恒成立!
即：
c＜(5/3)x³－(1/2)x²－4lnx
令h(x)＝(5/3)x³－(1/2)x²－4lnx.
令h'(x)＝5x²－x－4/x＝0
即5x³－x²－4＝0
即5x³－5x²＋4x²－4＝0
∴5x²(x－1)＋4(x＋1)(x－1)＝0
∴(5x²＋4x＋4)(x－1)＝0
∵5x²＋4c＋4＞0恒成立,
∴x－1＝0,即：x＝1.
∴h(x)在(1,＋∞)单调递增
∴h(x)min＝h(1)＝7/6.
∴c＜7/6