已知函数f(x)=(a-x^2)e^x,a∈R（1）求f(x)的单调区间（2）当a=0时,求证：f(x)+x^2+x^3≤0

Question

已知函数f(x)=(a-x^2)e^x,a∈R
（1）求f(x)的单调区间
（2）当a=0时,求证：f(x)+x^2+x^3≤0

Answer 1

1)
f'(x)=(a-x²-2x)e^x
由f'(x)=0得a-x²-2x=0
(x+1)²=a+1
讨论a:
i)当aii)当a=-1时,f'(x)=-(x+1)²e^x≤0,f(x)在R上单调减；
iii)当a>-1时,f(x)有2个极值点±√(a+1), 当x>√(a+1)或x2）a=0时,f(x)=-x²e^x
f(x)+x²+x³=x²(-e^x+1+x)
令g(x)=-e^x+1+x
则由g'(x)=-e^x+1=0得x=0,此为极大值点,也为最大值点.
g(0)=-1+1+0=0
所以有g(x)≤0
因此x²g(x)≤0
故f(x)+x²+x³≤0