设函数f(x)=√x^2+1.—ax,其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数.设函数f(x)=√x^2+1.—ax,其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数.求详解,

Question

设函数f(x)=√x^2+1.—ax,其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数.
设函数f(x)=√x^2+1.—ax,其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数.求详解,

Answer 1

f(x)=√(x²+1) -ax
f'(x)=1/[2√(x²+1)]·(x²+1)'-a
=x/√(x²+1) -a
分两种情况．
（1）若f(x)在[0,+∞)上单调增,
则f'(x)≥0对于x∈[0,+∞)恒成立,
即a≤x/√(x²+1),x∈[0,+∞)
从而　a≤[x/√(x²+1)]min=0
与条件 a>0矛盾；
（2）若f(x)在[0,+∞)上单调减,
则f'(x)≤0对于x∈[0,+∞)恒成立,
即a≥x/√(x²+1),x∈[0,+∞)
易求得,x/√(x²+1)∈[0,1),x∈[0,+∞)
于是a≥1