如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．（1）求证：△CAF∽△CBE；（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．

Question

如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．

（1）求证：△CAF∽△CBE；
（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°=∠ABC，
又∵∠FCE=∠ACB，
∴△CEF∽△CAB，
∴(CF)/(CE)=(CB)/(CA)，
又∵∠ACF=∠BCE，
∴△CAF∽△CBE；
（2）∵△CAF∽△CBE，
∴∠CAF=∠CBE，
∵∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BAF=∠BEF，
设EC=1，则EF=1，FC=√(2)，
∵AE：EC=2：1，
∴AC=3，
∴AB=BC=(√(2))/(2)AC=(3√(2))/(2)，
∴BF=BC-FC=(√(2))/(2)，
∴tan∠BEF=tan∠BAF=(BF)/(AB)=(1)/(3)．