设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,若A*=AT,求A

Question

设A为n阶非零实方阵,A*是A的伴随矩阵,AT是A的转置矩阵,若A*=AT,求A

Answer 1

因为A*=A^T
所以 aij=Aij 其中Aij是aij的代数余子式。
又A为非零矩阵，不妨设a11不为零，
将A的行列式|A|按第一行展开，得
|A|=a11A11+a12A12+,,,,,,+a1nA1n=a11^2+a12^2+......+a1n^2>0
又|A*|=|A|^(n-1)
所以|A*|=|A^T|=|A|=|A|^(n-1)
故 （|A|-1)|A|^(n-1)=0
|A|=0或|A|=1
但由上知道|A|>0
所以|A|=1