设A=I-ξξT，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明（1）A2=A的充分条件是ξTξ=1．（2）当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．

Question

设A=I-ξξ^T，其中I是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξ^T是ξ的转置．证明
（1）A²=A的充分条件是ξ^Tξ=1．
（2）当ξ^Tξ=1时，A是不可逆矩阵．

Answer 1

证明：
（1）
由A=I-ξξ^T得：
A²=（I-ξξ^T）（I-ξξ^T）=I-2ξξ^T+ξ（ξ^Tξ）ξ^T=I-（2-ξ^Tξ）ξξ^T，
从而：A²=A⇔I-（2-ξ^Tξ）ξξ^T=I-ξξ^T⇔（ξ^Tξ-1）ξξ^T=0，
而ξ是n维非零列向量，因此：ξξ^T≠0，
故：A²=A⇔（ξ^Tξ-1）ξξ^T=0⇔ξ^Tξ-1=0⇔ξ^Tξ=1．

（2）
由A=I-ξξ^T两边同时右乘ξ，得：Aξ=ξ-ξξ^Tξ，
∴当ξ^Tξ=1时，Aξ=ξ-ξ=0，
而ξ≠0，这说明Ax=0有非零解，
于是由克莱姆法则知：|A|=0，
故A不可逆．