设3阶实对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=（1，-1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．（1）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值

Question

设3阶实对称矩阵A的特征向量值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=-2，

α1

=（1，-1，1）^T是A的属于特征值λ₁的一个特征向量，
记B=A⁵-4A³+E，其中E为3阶单位矩阵．
（1）验证

α1

是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．
（2）求矩阵B．

Answer 1

（1）由Aα1=α1得：A2α1=Aα1=α1，进一步得：A3α1=α1，A5α1=α1，故：Bα1＝(A5−4A3+E)α1=α1-4α1+α1=-2α1，从而：α1是矩阵B属于特征值-2的特征向量，因为：B=A5-4A3+E以及A的3个特征值分别为：λ1=1，...