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设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若a1=（1，a，0）T，a2=（2，1，1）T，a3=（0，1，-1）T都是矩阵A属于特征值6的特征向量．（1）求a的值；（2）求A的另一特征值和对应的特
题目详情
设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若a1=（1，a，0）T，a2=（2，1，1）T，a3=（0，1，-1）T都是矩阵A属于特征值6的特征向量．
（1）求a的值；
（2）求A的另一特征值和对应的特征向量；
（3）若β=（-2，2，-1）T，求Anβ．
（1）求a的值；
（2）求A的另一特征值和对应的特征向量；
（3）若β=（-2，2，-1）T，求Anβ．
▼优质解答
答案和解析
（1）由于实对称矩阵的2重特征根，对应着2个线性无关的特征向量，因而
a1=（1，a，0）T，a2=（2，1，1）T，a3=（0，1，-1）T是线性相关的，
∴
=2a-2=0
∴a=1
（2）设k为A的另一特征值，由于实对称矩阵必可以对角化，则存在可逆矩阵P，使得
P−1AP＝
＝∧
∴r（A）=r（∧）=2
∴k=0
设特征值0对应的特征向量p＝
，则p与αi（i=1，2）正交
∴
a1=（1，a，0）T，a2=（2，1，1）T，a3=（0，1，-1）T是线性相关的，
∴
|
∴a=1
（2）设k为A的另一特征值，由于实对称矩阵必可以对角化，则存在可逆矩阵P，使得
P−1AP＝
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∴r（A）=r（∧）=2
∴k=0
设特征值0对应的特征向量p＝
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∴
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