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设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若a1=(1,a,0)T,a2=(2,1,1)T,a3=(0,1,-1)T都是矩阵A属于特征值6的特征向量.(1)求a的值;(2)求A的另一特征值和对应的特
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设3阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若a1=(1,a,0)T,a2=(2,1,1)T,a3=(0,1,-1)T都是矩阵A属于特征值6的特征向量.
(1)求a的值;
(2)求A的另一特征值和对应的特征向量;
(3)若β=(-2,2,-1)T,求Anβ.
(1)求a的值;
(2)求A的另一特征值和对应的特征向量;
(3)若β=(-2,2,-1)T,求Anβ.
▼优质解答
答案和解析
(1)由于实对称矩阵的2重特征根,对应着2个线性无关的特征向量,因而
a1=(1,a,0)T,a2=(2,1,1)T,a3=(0,1,-1)T是线性相关的,
∴
=2a-2=0
∴a=1
(2)设k为A的另一特征值,由于实对称矩阵必可以对角化,则存在可逆矩阵P,使得
P−1AP=
=∧
∴r(A)=r(∧)=2
∴k=0
设特征值0对应的特征向量p=
,则p与αi(i=1,2)正交
∴
a1=(1,a,0)T,a2=(2,1,1)T,a3=(0,1,-1)T是线性相关的,
∴
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∴a=1
(2)设k为A的另一特征值,由于实对称矩阵必可以对角化,则存在可逆矩阵P,使得
P−1AP=
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∴r(A)=r(∧)=2
∴k=0
设特征值0对应的特征向量p=
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