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高一数学若非零函数f(x)对任意实数a,b,均有f(a+b)=f(a)*f(b)成立,且当x＜0时,f(x)＞1⑴求证：f(x)＞0⑵求证：f(x)为减函数⑶当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)*f(5)≤1/4
题目详情
高一数学
若非零函数f(x)对任意实数a,b,均有f(a+b)=f(a)*f(b)成立,且当x＜0时,f(x)＞1
⑴求证：f(x)＞0
⑵求证：f(x)为减函数
⑶当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)*f(5)≤1/4
若非零函数f(x)对任意实数a,b,均有f(a+b)=f(a)*f(b)成立,且当x＜0时,f(x)＞1
⑴求证：f(x)＞0
⑵求证：f(x)为减函数
⑶当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)*f(5)≤1/4
▼优质解答
答案和解析
1)f(a+b)=f(a)f(b)
令b=0,则f(a)=f(a)f(0),a1即f(a)≠0,∴f(0)=1
令b=-a>0即a0时,0x2,x2-x11
f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)
∵f(x2)>0,f(x1)>0
∴f(x2)=f(x2-x1)f(x1)>f(x1)
∴f(x)是减函数
3)令a=b=2,则f(2+2)=f(2)f(2)=1/16,∴f(2)=1/4
f(x-3)f(5-x²)=f(x-3+5-x²)=f(-x²+x+2)=2
∴x²-x=x(x-1)
令b=0,则f(a)=f(a)f(0),a1即f(a)≠0,∴f(0)=1
令b=-a>0即a0时,0x2,x2-x11
f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)
∵f(x2)>0,f(x1)>0
∴f(x2)=f(x2-x1)f(x1)>f(x1)
∴f(x)是减函数
3)令a=b=2,则f(2+2)=f(2)f(2)=1/16,∴f(2)=1/4
f(x-3)f(5-x²)=f(x-3+5-x²)=f(-x²+x+2)=2
∴x²-x=x(x-1)
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