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附加题已知二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1.(1)随着m的变化,该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上?如果是,请求出该抛物线的函数表达式;如果不是,请说明理由.(2)如果直

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【附加题】已知二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1.
(1)随着m的变化,该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上?如果是,请求出该抛物线的函数表达式;如果不是,请说明理由.
(2)如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1图象的顶点P,求此时m的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上求该抛物线的函数表达式如下:
利用配方,得y=(x+m+1)2-m2-3m,顶点坐标是P(-m-1,-m2-3m).
方法一:分别取m=0,-1,1,得到三个顶点坐标是P1(-1,0)、P2(0,2)、
P3(-2,-4),过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x2+x+2.
将顶点坐标P(-m-1,-m2-3m)代入y=-x2+x+2的左右两边,左边=-m2-3m,
右边=-(-m-1)2+(-m-1)+2=-m2-3m,
∴左边=右边.即无论m取何值,顶点P都在抛物线y=-x2+x+2上.
即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2.
方法二:令-m-1=x,则m=-x-1,将其代入-m2-3m,得-(-x-1)2-3(-x-1)=-x2+x+2.
即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2上.
(2)如果顶点P(-m-1,-m2-3m)在直线y=x+1上,
则-m2-3m=-m-1+1,
即m2=-2m,
∴m=0或m=-2,
∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1图象的顶点P时,m的值是-2或0.
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