设函数f（x）=2lnx+x2﹣2ax（a＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；（Ⅱ）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个极值点，且f（x1）﹣f（x2）＞m恒成立，求

Question

设函数f（x）=2lnx+x²﹣2ax（a＞0）．

（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；

（Ⅱ）若x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）的两个极值点，且f（x₁）﹣f（x₂）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为0，求实数a的值；

（Ⅱ）f（x₁）﹣f（x₂）=（2lnx₁+x₁²﹣2ax₁）﹣（2lnx₂+x₂²﹣2ax₂）=﹣x₁²+2lnx₁²，令x₁²=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，x，求导，确定函数的单调性，求最值，即可求实数m的取值范围．

【解答】（Ⅰ）f′（x）=，

0＜a≤2，f′（x）≥0，f（x）在区间[1，2]上单调递增，∴f（x）_min=f（1）=1﹣2a=0，∴a=；

a＞2，令f′（x）=0，则x₁=，x₂=，

2＜a＜，x₁=＜1，x₂=∈（1，2），

∴函数在（1，x₁）内单调递减，在（x₁，2）内单调递增，

∴f（x）_min=f（x₁）＜f（1）=1﹣2a＜0．

a≥，x₁=，x₂=≥2，

∴函数在（1，2）内单调递减，∴f（x）_min=f（2）=2ln2+4﹣4a=0．

∴a=ln2+1＜（舍去）

综上所述，a=；

（Ⅱ）x₁，x₂是f′（x）=在（0，+∞）内的两个零点，是方程x²﹣ax+1=0的两个正根，

∴x₁+x₂=a＞0，x₁x₂=1，△＞0，∴a＞2，∴x₁＞1

∴f（x₁）﹣f（x₂）=（2lnx₁+x₁²﹣2ax₁）﹣（2lnx₂+x₂²﹣2ax₂）=﹣x₁²+2lnx₁²，

令x₁²=t，则t＞1，g（t）=﹣t﹣2lnt，

∴g′（t）=﹣＜0，

∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴g（t）＞g（1）=0，

∴m≤0．

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，正确构造函数，合理求导是关键．