（2014•保定一模）已知函数f（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），设x1，x2（x1≠x2）为函数f（x）的两个零点．（1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的单调区间；（2）若|x1|+|x2|=2，求实数b的最大值；（3）若x1

Question

（2014•保定一模）已知函数f（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），设x₁，x₂（x₁≠x₂）为函数f（x）的两个零点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若|x₁|+|x₂|=2，求实数b的最大值；
（3）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，g（x）=f（x）-a（x-x₁），求证：(|g(x)|)/(a)-(3)/(4)a²-a≤(1)/(3)．

Answer 1

（1）∵x₁，x₂（x₁≠x₂）为函数f（x）的两个零点，
∴f（-1）=0，f（2）=0，
∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，解得a=6，b=-9，
∴f（x）=18x²-18x-36，
∴f′（x）=36x-18
∴其单调递减区间为（-∞，(1)/(2)），
其单调递增区间为（(1)/(2)，+∞），
（2）∵）∵x₁，x₂（x₁≠x₂）为函数f（x）的两个零点，
∴f（x₁）=f（x₂）=0，
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²的两根．
∵△=4b²+12a³，
∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．x1+x2＝−(2b)/(3a)，x1•x2＝−(a)/(3)，
∵a＞0，∴x₁-x₂＜0，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=√((−(2b)/(3a))2−4(−(a)/(3)))=√((4b2)/(9a2)+(4)/(3)a)，
由|x₁|+|x₂|=2得√((4b2)/(9a2)+(4)/(3)a)=2，
∴b²=3a²（3-a），
∵b²≥0，
∴3a²（3-a）≥0，
∴0＜a≤3，
令h（a）=3a²（3-a），h′（a）=-9a²+18a，
当0＜a＜2，h（a）为增函数，
当2＜a＜3，h（a）为减函数，
当a=2，h（a）最大值是12，
∴b最大值是2√(3)；
（3）∵x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²的两根，
∴f（x）=3a（x-x_1）（x-x₂），
∴