矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．（1）当A′与B重合时，（如图1），EF=；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；

Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．

（1）当A′与B重合时，（如图1），EF=______；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；
（2）观察图3和图4，设BA′=x，
①当x的取值范围是______时，四边形AEA′F是菱形；
②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．

Answer 1

（1）当A′与B重合时，如图1，把矩形对折，所以EF=AD=5．
故答案为：5；
如图2，DC=AB=3，A′F=AD=5，
在Rt△A′CF中，A′C=√(A′F2−FC2)=4，
设AE=t，则BE=3-t，EA′=t，
在Rt△EBA′中，BA′=BC-A′C=5-4=1，
∵BE²+BA′²=EA′²，
∴（3-t）²+1²=t²，解得t=(5)/(3)，
在Rt△AEF中，AE=(5)/(3)，AF=5，
∴EF=√(((5)/(3))2+52)=(5√(10))/(3)；
（2）①当折痕FE过B点时，四边形AEA′F是正方形，BA′最小，此时BA′=BA=3；当点A的对应点A′落在C点时，BA′=5，于是得到x的取值范围是3≤x≤5，四边形AEA′F是菱形，
故答案为：3≤x≤5；
②如图4，∵△AEF沿EF折叠到△A′EF，
∴EA=EA′，FA=FA′，∠AEF=∠A′EF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AF∥EC，
∴∠A′EF=∠AFE，
∴∠A′FE=∠A′EF，
∴A′E=A′F，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形．