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定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°,①若AB=CD=1,AB∥CD,求对角线BD的长.②若AC⊥BD,求证:A
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定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°,
①若AB=CD=1,AB∥CD,求对角线BD的长.
②若AC⊥BD,求证:AD=CD,
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形,求AE的长.
(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°,
①若AB=CD=1,AB∥CD,求对角线BD的长.
②若AC⊥BD,求证:AD=CD,
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形,求AE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)①∵AB=AC=1,AB∥CD,
∴S四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴BD=AC=
=
.
(2)如图1中,连接AC、BD.
∵AB=BC,AC⊥BD,
∴∠ABD=∠CBD,
∵BD=BD,
∴△ABD≌△CBD,
∴AD=CD.
(2)若EF⊥BC,则AE≠EF,BF≠EF,
∴四边形ABFE表示等腰直角四边形,不符合条件.
若EF与BC不垂直,
①当AE=AB时,如图2中,此时四边形ABFE是等腰直角四边形,
∴AE=AB=5.
②当BF=AB时,如图3中,此时四边形ABFE是等腰直角四边形,
∴BF=AB=5,
∵DE∥BF,
∴DE:BF=PD:PB=1:2,
∴DE=2.5,
∴AE=9-2.5=6.5,
综上所述,满足条件的AE的长为5或6.5.
∴S四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴BD=AC=
12+12 |
2 |
(2)如图1中,连接AC、BD.
∵AB=BC,AC⊥BD,
∴∠ABD=∠CBD,
∵BD=BD,
∴△ABD≌△CBD,
∴AD=CD.
(2)若EF⊥BC,则AE≠EF,BF≠EF,
∴四边形ABFE表示等腰直角四边形,不符合条件.
若EF与BC不垂直,
①当AE=AB时,如图2中,此时四边形ABFE是等腰直角四边形,
∴AE=AB=5.
②当BF=AB时,如图3中,此时四边形ABFE是等腰直角四边形,
∴BF=AB=5,
∵DE∥BF,
∴DE:BF=PD:PB=1:2,
∴DE=2.5,
∴AE=9-2.5=6.5,
综上所述,满足条件的AE的长为5或6.5.
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