已知函数f（x）=xx+1，（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（-1，+∞）是增函数；（2）试求f（x）=lnxlnx+1在区间[2，e2]上的最大值与最小值．

Question

已知函数f（x）=(x)/(x+1)，
（1）用函数单调性定义证明：f（x）在（-1，+∞）是增函数；
（2）试求f（x）=(lnx)/(lnx+1)在区间[2，e²]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）证明：
设x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁2，则：
f(x1)-f(x2)=(x1)/(x1+1)-(x2)/(x2+1)=(x1-x2)/((x1+1)(x2+1))；
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁<x₂；
∴x₁-x₂<0，x₁+1>0，x₂+1>0；
∴f（x₁）<f（x₂）；
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数；
（2）lnx在[2，e²]上是增函数，ln2>0；
∴由（1）知f（x）=(lnx)/(lnx+1)在区间[2，e²]上是增函数；
∴f（2）=(ln2)/(ln2+1)是f（x）在[2，e²]上的最小值；
f（e²）=(2)/(3)是f（x）在[2，e²]上的最大值．