给定函数f（x），若对于定义域中的任意x，都有f（x）≥x恒成立，则称函数f（x）为“爬坡函数”．（1）证明：函数f（x）=x2+1是爬坡函数；（2）若函数f（x）=4x+m•2x+1+x+2m2-4是爬坡函数，求

Question

给定函数f（x），若对于定义域中的任意x，都有f（x）≥x恒成立，则称函数f（x）为“爬坡函数”．
（1）证明：函数f（x）=x²+1是爬坡函数；
（2）若函数f（x）=4^x+m•2^x+1+x+2m²-4是爬坡函数，求实数m的取值范围；
（3）若对任意的实数b，函数f(x)=x2+bx+c-(b)/(4)都不是爬坡函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(x)-x=x2-x+1=(x-(1)/(2))2+(3)/(4)>0，
∴f（x）≥x恒成立，即得函数f（x）=x²+1是爬坡函数；…（3分）
（2）由题意可知，4^x+m•2^x+1+x+2m²-4≥x恒成立，
∴4^x+m•2^x+1+2m²-4≥0恒成立．
设2^x=t，则t>0，上式变为t²+2mt+2m²-4≥0，
设g（t）=t²+2mt+2m²-4=（t+m）²+m²-4（t>0）
①若-m>0，则g(t)min=m2-4≥0，解得m≤-2；
②若-m≤0，则g（0）=2m²-4≥0，解得m≥√(2)；
综上所述，m的取值范围是m≤-2或m≥√(2)；…（9分）
（3）由题意，对任意的实数b，存在x，使得f(x)=x2+bx+c-(b)/(4)<x，
即x2+(b-1)x+c-(b)/(4)<0，
故△1=(b-1)2-4(c-(b)/(4))>0，即b²-b+1-4c>0对任意的实数b恒成立，
∴△2=12-4(1-4c)<0，解得c<(3)/(16)．…（14分）