已知函数f（x）=axx2−1（a＞0）．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数的单调性定义给予证明．

Question

已知函数f（x）=(ax)/(x2−1)（a＞0）．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数的单调性定义给予证明．

Answer 1

（1）函数的定义域为{x|x±1}，定义域关于原点对称；
f（-x）=(−ax)/((−x)2−1)=−(ax)/(x2−1)=-f（x），所以函数f(x)＝(ax)/(x2−1)（a＞0）为奇函数；
证明：函数的定义域为{x|x±1}，定义域关于原点对称；
又有f(−x)＝(−ax)/((−x)2−1)＝−(ax)/(x2−1)＝−f(x)，于是f（x）为奇函数；
（2）函数f(x)＝(ax)/(x2−1)（a＞0）在（-∞，-1）；（-1，1）；（1，+∞）三个区间上单调递减；
证明：设x₁＜x₂＜-1，则f(x2)−f(x1)＝(ax2)/(x22−1)−(ax1)/(x21−1)＝(a[x2(x21−1)−x1(x22−1)])/((x22−1)(x21−1))＝(a(x1−x2)(x1x2+1))/((x22−1)(x21−1))
又∵x₁-x₂＜0，x₁x₂+1＞0，(

x

2 2

−1)(

x

2 1

−1)＞0且a＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0⇒f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数；同理，f（x）在（-1，1）及（1，+∞）上均为减函数．