求递推式子X(1)=2X(n)=√(2+X(n-1))的通项X(1)=√2

Question

求递推式子 X(1)=2 X(n)=√(2+X(n-1)) 的通项
X(1)=√2

Answer 1

【注：(1)cos(π/4)=√2/2.===>√2=2cos(π/4)=2cos[π/2²],即x1=2cos(π/2²).(2)半角公式cost=2cos²(t/2)-1.===>cos²(t/2)=(1+cost)/2.由题设可知,x1=√2,xn=√[2+x(n-1)],(n≥2).易知x1=√2=2cos(π/4)=2cos(π/2²).x2=√[2+x1]=√[2+2cos(π/4)]=2√{[1+cos(π/4)]/2}=2cos(π/8).即x2=2cos(π/8).x3=√(2+x2)=√[2+2cos(π/8)]=2√[(1+cos(π/8))/2]=2cos(π/16).即x3=2cos(π/16).假设x(n-1)=2cos[π/2^n].(n≥2).则xn=√[2+x(n-1)]=√{2+2cos[π/2^n]}=2√{[1+cos(π/2^n)]/2}=2cos[π/2^(n+1)].∴由上归纳可知通项xn=2cos[π/2^(n+1)].(n=1,2,3,...) .