已知曲线C上任意一点P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=-2的距离小1．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率k>2的直线l过点F且交曲线C为A、B两点，当线段AB的中点M到直线l′：5x+12y+a=0（

Question

已知曲线C上任意一点P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；
（Ⅱ）若斜率k>2的直线l过点F且交曲线C为A、B两点，当线段AB的中点M到直线l′：5x+12y+a=0（a>-5）的距离为(1)/(13)，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=-1的距离相等
∴由抛物线的定义得曲线C为抛物线，(p)/(2)=1
∴轨迹方程为：y²=4x．　　　　　　　　　　 …4分
（Ⅱ）由已知得直线l：y=k（x-1）（k>2）
联立直线方程与抛物线方程，消去y，得 k²x²-2（k²+2）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），
则 x0=(x1+x2)/(2)=(k2+2)/(k2)，∴y0=k(x0-1)=(2)/(k)
于是点M到直线l′的距离为|(5x0+12y0+a)/(√(52+122))|=(1)/(13)
∴|(10)/(k2)+(24)/(k)+a+5|=1…（8分）
由 k>2及a>-5得：(10)/(k2)+(24)/(k)+a+5=1
即a=-(10)/(k2)-(24)/(k)-4=-10((1)/(k)+(6)/(5))2+(52)/(5)
由k>2知(6)/(5)<(1)/(k)+(6)/(5)<(17)/(10) 
∴-(37)/(2)<a<-4  
∴由a>-5得：a的取值范围为（-5，-4）．　…12分