设集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有1+a1−a∈A，请考虑以下问题：（1）已知2∈A，求出A中其它所有元素；（2）自己设计一个实数属于A，再求出A中其它所有元素；（3）

Question

设集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有(1+a)/(1−a)∈A，请考虑以下问题：
（1）已知2∈A，求出A中其它所有元素；
（2）自己设计一个实数属于A，再求出A中其它所有元素；
（3）根据已知条件和前面（1）（2）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想．

Answer 1

（1）∵2∈A，由题中条件：集合A中不含有元素-1，0，1，且满足条件：若a∈A，则有(1+a)/(1−a)∈A，得(1+2)/(1−2)＝−3∈A．
∵-3∈A，∴(1−3)/(1+3)＝−(1)/(2)∈A．∵−(1)/(2)∈A，∴(1−(1)/(2))/(1+(1)/(2))＝(1)/(3)∈A．∵(1)/(3)∈A，∴(1+(1)/(3))/(1−(1)/(3))＝2∈A．
∴集合A={2，-3，−(1)/(2)，(1)/(3)}．
（2）任取一常数，如3∈A，则同理（1）可得：集合A={3，-2，−(1)/(3)，(1)/(2)}．
（3）由（1）（2）猜想：任意的常数a∈A（a≠±1，a≠0），则集合A={a，(1+a)/(1−a)，−(1)/(a)，(a−1)/(a+1)}．
证明：∵a∈A，∴(1+a)/(1−a)∈A，∴(1+(1+a)/(1−a))/(1−(1+a)/(1−a))＝−(1)/(a)，
∴(1−(1)/(a))/(1+(1)/(a))＝(a−1)/(a+1)∈A，∴(1+(a−1)/(a+1))/(1−(a−1)/(a+1))＝a∈A．
如果其中任两元素相等，则a=±1或a=0，故这四个元素不等（集合中元素的互异性）．