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设集合A中不含有元素-1,0,1,且满足条件:若a∈A,则有1+a1−a∈A,请考虑以下问题:(1)已知2∈A,求出A中其它所有元素;(2)自己设计一个实数属于A,再求出A中其它所有元素;(3)

题目详情
设集合A中不含有元素-1,0,1,且满足条件:若a∈A,则有
1+a
1−a
∈A,请考虑以下问题:
(1)已知2∈A,求出A中其它所有元素;
(2)自己设计一个实数属于A,再求出A中其它所有元素;
(3)根据已知条件和前面(1)(2)你能悟出什么道理来,并证明你的猜想.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵2∈A,由题中条件:集合A中不含有元素-1,0,1,且满足条件:若a∈A,则有
1+a
1−a
∈A,得
1+2
1−2
=−3∈A.
∵-3∈A,∴
1−3
1+3
=−
1
2
∈A.∵
1
2
∈A,∴
1−
1
2
1+
1
2
1
3
∈A.∵
1
3
∈A,∴
1+
1
3
1−
1
3
=2∈A.
∴集合A={2,-3,
1
2
1
3
}.
(2)任取一常数,如3∈A,则同理(1)可得:集合A={3,-2,
1
3
1
2
}.
(3)由(1)(2)猜想:任意的常数a∈A(a≠±1,a≠0),则集合A={a,
1+a
1−a
1
a
a−1
a+1
}.
证明:∵a∈A,∴
1+a
1−a
∈A,∴
1+
1+a
1−a
1−
1+a
1−a
=−
1
a

1−
1
a
1+
1
a
a−1
a+1
∈A,∴
1+
a−1
a+1
1−
a−1
a+1
=a∈A.
如果其中任两元素相等,则a=±1或a=0,故这四个元素不等(集合中元素的互异性).
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