设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a属于S，b属于S,则a+b属于S,ab属于S②对任意一个有理数r，三个关系r属于S，-r属于S，r=0有且仅有一个成立，证明：S是由全体正有理数组成的集合。请

Question

设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a属于S，b属于S,则a+b属于S,ab属于S②对任意一个有理数r，三个关系r属于S，-r属于S，r=0有且仅有一个成立，证明：S是由全体正有理数组成的集合。
请大家告诉我如何证出S中不可能有负有理数和零就可以了，谢谢！
记集合T=｛0，1，2，3，4，5，6｝，M=｛a1/7 + a2/7 +a3/7 +a4/7 / ai属于T，i=1，2，3，4｝，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是？

Answer 1

1，证明：设任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或,-r∈S之一成立。
再由①，若r∈S，则r²∈S；若-r∈S，则
r²=(-r)*(-r)∈S。
总之，r²∈S
取r=1，则1∈S。再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，…，可知全体正整数都属于S。
设p、q∈S，由①pq∈S，又由前证知1/q²∈S
所以p/q=pq*1/q²∈S。
因此，S含有全体正有理数。
再由①知，0及全体负有理数不属于S。
即S是由全体正有理数组成的集合。
2，思路：将ai可看成是7进制数，就是数位只有0到6，和我们十进制相似（十进制是0到9），比如十进制的7可以写成七进制的10(7) （括号中7表示该数是7进制），而十进制13=7+6可以表示为七进制的16(7)

从大到小排序的第一个是
6666（7）-[1（7）- 1]
所以第2005应该就是：
6666(7)-[5562(7)-1]
即1104（7）即
1/7+1/7^2+0/7^3+4/7^4