设常数θ∈（0，π2），函数f（x）=2cos2（θ-32x）-1，且对任意实数x，f（x）=f（π3-x）恒成立．（1）求θ值；（2）试把f（x）表示成关于sinx的关系式；（3）若x∈（0，π）时，不等式f（x）>2a

Question

设常数θ∈（0，(π)/(2)），函数f（x）=2cos²（θ-(3)/(2)x）-1，且对任意实数x，f（x）=f（(π)/(3)-x）恒成立．
（1）求θ值；
（2）试把f（x）表示成关于sinx的关系式；
（3）若x∈（0，π）时，不等式f（x）>2a•f（(2x)/(3)）-13f（(x)/(3)）恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

（1）f（x）=2cos²（θ-(3)/(2)x）-1=cos（2θ-3x），
则f（(π)/(3)-x）=cos（2θ-π+3x）=-cos（2θ+3x）．
由f（x）=f（(π)/(3)-x），得cos（2θ-3x）=-cos（2θ+3x），
即cos（2θ-3x）+cos（2θ+3x）=0，
∴2cos2θcos3x=0，则cos2θ=0，
∵θ∈（0，(π)/(2)），∴θ=(π)/(4)；
（2）f（x）=2cos²（θ-(3)/(2)x）-1=cos（2θ-3x）=cos（(π)/(2)-3x）=sin3x=3sinx-4sin³x；
（3）由f（x）>2a•f（(2x)/(3)）-13f（(x)/(3)），得sin3x>2asin2x-13sinx，
∴3sinx-4sin³x>4asinxcosx-13sinx，即cos²x-acosx+3>0．
令cosx=t（-1<t<1），则t²-at+3>0在t∈（-1，1）上恒成立．
∴△=a²-12<0或

a2-12≥0

(a)/(2)≤-1

a+4≥0

或

a2-12≥0

(a)/(2)≥1

4-a≥0

．
解得：-4≤a≤4．