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设f(x)为连续函数,(1)求初值问题y′+ay=f(x)y|x=0=0的解f(x),其中a是正常数;(2)若|f(x)|设f(x)为连续函数,(1)求初值问题y′+ay=f(x)y|x=0=0的解f(x),其中a是正常数;
题目详情
设f(x)为连续函数,(1)求初值问题y′+ay=f(x)y|x=0=0的解f(x),其中a是正常数;(2)若|f(x)|
设f(x)为连续函数,
(1)求初值问题
的解f(x),其中a是正常数;
(2)若|f(x)|≤k(k为常数),证明:当x≥0时,有|y(x)|≤
(1?e?ax).
设f(x)为连续函数,
(1)求初值问题
|
(2)若|f(x)|≤k(k为常数),证明:当x≥0时,有|y(x)|≤
k |
a |
▼优质解答
答案和解析
(1)【解法一】
因为一阶微分方程 y′+P(x)y=Q(x) 的通解公式为
y=e-∫p(x)dx(∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C),
所以 y′+ay=f(x) 的通解为
y=e-∫adx(∫f(x)e∫adxdx+C)=e-ax (∫f(x)eaxdx+C)=e-ax (F(x)+C),
其中,F(x) 是 f(x)eax 的任一原函数.
由 y(0)=0 可得,C=-F(0).
所以 y(x)=e-ax (F(x)-F(0))=e-ax
f(t)eatdt.
【解法二】
在方程 y′+ay=f(x) 两边同时乘以 eax,可得
eaxy′+aeax y=eaxf(x),
即 (eax y)′=eaxf(x).
两边积分可得,
eaxy =
eatf(t)dt,
即:y(x)=e-ax
f(t)eatdt.
(2)|y(x)|=e-ax|
f(t)eatdt |
≤e-ax
|f(t)|eatdt
≤ke-ax
eatdt(∵|f(x)|≤k)
≤
e-ax(eax-1)
≤
(1-e-ax).
因为一阶微分方程 y′+P(x)y=Q(x) 的通解公式为
y=e-∫p(x)dx(∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C),
所以 y′+ay=f(x) 的通解为
y=e-∫adx(∫f(x)e∫adxdx+C)=e-ax (∫f(x)eaxdx+C)=e-ax (F(x)+C),
其中,F(x) 是 f(x)eax 的任一原函数.
由 y(0)=0 可得,C=-F(0).
所以 y(x)=e-ax (F(x)-F(0))=e-ax
∫ | x 0 |
【解法二】
在方程 y′+ay=f(x) 两边同时乘以 eax,可得
eaxy′+aeax y=eaxf(x),
即 (eax y)′=eaxf(x).
两边积分可得,
eaxy =
∫ | x 0 |
即:y(x)=e-ax
∫ | x 0 |
(2)|y(x)|=e-ax|
∫ | x 0 |
≤e-ax
∫ | x 0 |
≤ke-ax
∫ | x 0 |
≤
k |
a |
≤
k |
a |
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