解非齐次线性方程组时化行阶梯的问题增广矩阵1 2 1 [1换行a+2 3 2 [3换行-2 a 1 [0

Question

解非齐次线性方程组时化行阶梯的问题
增广矩阵
1 2 1 [1换行
a+2 3 2 [3换行
-2 a 1 [0

Answer 1

取 x = (x3,x2,x1)^T,则
增广矩阵 (A,b) =
[1 2 1 1]
[2 3 a+2 3]
[1 a -2 0]
初等变换为
[1 2 1 1]
[0 -1 a 1]
[0 a-2 -3 -1]
初等变换为
[1 0 2a+1 3]
[0 1 -a -1]
[0 0 (a-3)(a+1) a-3]
当 a≠3 且 a≠-1 时,方程组有唯一解.
当 a=-1 时,r(A)=2,r(A,b)=3,方程组无解.
当 a=3 时,r(A)=r(A,b)=2,方程组有无穷多解,
此时方程组同解变形为
x3=3-7x1
x2=-1+3x1,
取 x1=0,得特解 (x3,x2,x1)^T ＝ (3,-1,0)^T
导出组即对应的齐次方程是
x3=-7x1
x2=3x1,
取 x1=1,得基础解系 (-7,3,1)^T,
则通解 (x3,x2,x1)^T ＝ (3,-1,0)^T+k(-7,3,1)^T,
即 (x1,x2,x3)^T ＝ (0,-1,3)^T+k(1,3,－7)^T,
其中 k 为任意常数.