线性代数中线性表出的问题.参考书中说如果列向量组A能由列向量组B线性表出,则r(B|A)=r(B).这个我能理解,因为构造的增广矩阵中用初等列变换可以把属于A的列都减为0,最后就剩下（B|0）矩阵

Question

线性代数中线性表出的问题.
参考书中说如果列向量组A能由列向量组B线性表出,则r(B|A)=r(B).这个我能理解,因为构造的增广矩阵中用初等列变换可以把属于A的列都减为0,最后就剩下（B|0）矩阵了,它的秩就是B的秩.但是此时r(A|B)是不是也等于r(B)呢?也就是增广矩阵可以换过来构造,无所谓顺序.我自己觉得AB的顺序可以由初等列变换中的列列交换换过去,也就是换成开始那种模式,而出等列变换不改变矩阵的秩,所以这中表示也相等.
但是我去找老师咨询,他把我绕进去了.我当时都不知道我想的是什么.反正被他说服了,也就是认为那个不相等.但是反过来想想,相等的啊.也就是r(A|B)=r(B|A)应该完全成立啊,无非是初等列变换了而已,把行的顺序变了一下.

Answer 1

r(A,B) = r(B,A)
这肯定是对的.